正切半角公式，又稱萬能公式

正切半角公式，又稱萬能公式，這一組公式有四個功能：

1. 將角統一為${\displaystyle {\frac {\alpha }{2}}}$；
2. 將函數名稱統一為${\displaystyle \tan }$；
3. 任意實數都可以表示為${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}}$的形式，可以用正切函數換元。
4. 在某些積分中,可以將含有三角函數的積分變為有理分式的積分.

因此，這組公式被稱為以切表弦公式，簡稱以切表弦。它們是由二倍角公式變形得到的。

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

${\displaystyle \cos \alpha ={\frac {1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {2\tan {\frac {\alpha }{2}}}{1-\tan ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}}$

而被稱為萬能公式的原因是利用${\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}}$的代換可以解決一些有關三角函數的積分。參見三角換元法。

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \left({\frac {\eta }{2}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\sin \eta \pm \sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}=-{\frac {\cos \eta -\cos \theta }{\sin \eta \mp \sin \theta }},\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\pm \sin \theta }{1+\cos \theta }}={\frac {\pm \tan \theta }{\sec \theta +1}}={\frac {\pm 1}{\csc \theta +\cot \theta }},~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left(\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1-\cos \theta }{\pm \sin \theta }}={\frac {\sec \theta -1}{\pm \tan \theta }}=\pm (\csc \theta -\cot \theta ),~~~~(\eta =0)\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {1\pm \sin \theta }{\cos \theta }}=\sec \theta \pm \tan \theta ={\frac {\csc \theta \pm 1}{\cot \theta }},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]\tan \left({\frac {\pi }{4}}\pm {\frac {\theta }{2}}\right)&={\frac {\cos \theta }{1\mp \sin \theta }}={\frac {1}{\sec \theta \mp \tan \theta }}={\frac {\cot \theta }{\csc \theta \mp 1}},~~~~(\eta ={\frac {\pi }{2}})\\[10pt]{\frac {1-\tan {\frac {\theta }{2}}}{1+\tan {\frac {\theta }{2}}}}&={\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}.\end{aligned}}}$